Exercice sur la mesure positive et la décomposition des ensembles

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Exercice – Mesure et Intégration (Fiche TD2 : Mesure positive)

Niveau : Licence 3 (Mathématiques)

Cet exercice explore les propriétés fondamentales des mesures positives sur des ensembles, en mettant l’accent sur l’additivité et la réécriture d’identités entre unions et différences ensemblistes. L’étudiant est amené à manipuler la notation en théorie de la mesure, à structurer un raisonnement rigoureux, et à relier les propriétés ensemblistes aux conclusions analytiques attendues.

🎯 Objectifs pédagogiques

Renforcer la compréhension de l’additivité (finie) des mesures positives et de ses conséquences.
Maîtriser la décomposition d’ensembles via union, intersection et différence pour établir des identités de mesure.
Structurer une preuve claire : identification des parties disjointes, usage des inclusions et des recouvrements.
Passer de l’intuition ensembliste aux égalités quantitatives au niveau des mesures.

🧠 Compétences travaillées

Manipulation de la notation en théorie de la mesure et calculs sur des familles d’ensembles.
Argumentation logique et rédaction mathématique précise.
Détection des parties disjointes pertinentes pour appliquer l’additivité.
Contrôle des hypothèses (mesurabilité, finitude de la mesure, etc.).

✅ Pré-requis

Notions de base sur les espaces mesurables et les mesures positives.
Maîtrise des opérations ensemblistes (∪, ∩, \) et des inclusions.
Connaissance de l’additivité finie des mesures et des principes de décomposition.

💡 Conseils de résolution

Commencer par dessiner des diagrammes d’ensembles pour visualiser les recouvrements.
Décomposer systématiquement les ensembles en parties disjointes avant d’appliquer l’additivité.
Vérifier soigneusement les égalités en regroupant les termes « côté ensemble » puis « côté mesure ».

Astuce : isolez les composantes disjointes clés (par exemple via des partitions du type A\B, B\A, A∩B, etc.) puis appliquez l’additivité pour obtenir l’égalité visée.