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Mesure et Intégration – La tribu borélienne de ℝ
Cet exercice s’inscrit dans le cadre de la construction de la tribu borélienne sur ℝ, un pilier fondamental de la théorie de la mesure et de l’intégration de Lebesgue.
L’objectif est de démontrer que la tribu borélienne de ℝ, notée 𝔅(ℝ), est engendrée par la famille des intervalles ouverts de la forme ]a, b[, où a, b ∈ ℝ et a < b.
Cette propriété montre que la simplicité des intervalles ouverts suffit à engendrer toute la richesse de la structure borélienne. En d’autres termes, toute partie borélienne peut être obtenue à partir de ces intervalles par un nombre dénombrable d’unions, d’intersections et de compléments.
À travers cet exercice, l’étudiant de Licence 3 approfondit sa maîtrise de la notion de σ-algèbre engendrée, apprend à raisonner avec rigueur, et découvre comment des objets simples — les intervalles ouverts — permettent de construire des structures mesurables d’une grande complexité.
C’est un exercice classique mais essentiel, formant le socle de la compréhension des fonctions mesurables, de la mesure de Lebesgue et de l’intégration sur ℝ.
👉 Retrouvez le fichier complet avec la solution sur le lien ci-dessous :
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