Critère de Cauchy expliqué avec exemple – Analyse des suites réelles

🧮 Description détaillée de l’exercice

Cet exercice propose à l’étudiant de mettre en œuvre le critère de Cauchy afin d’étudier la nature d’une suite numérique définie par récurrence. L’objectif principal est de déterminer si cette suite satisfait les conditions nécessaires pour être considérée comme une suite de Cauchy, c’est-à-dire si la distance entre ses termes tend vers zéro lorsque les indices deviennent très grands.

À travers cette activité, l’étudiant apprend non seulement à manipuler les suites récurrentes, mais aussi à comprendre en profondeur la notion de convergence et son lien fondamental avec la stabilité des termes successifs. Il découvre comment les variations de la suite s’atténuent au fil des itérations, illustrant ainsi la cohérence interne d’une suite convergente.

🎯 Objectifs pédagogiques :

• Appliquer rigoureusement le critère de Cauchy pour prouver la convergence d’une suite réelle ;
• Manipuler une relation de récurrence afin d’exprimer la différence entre deux termes éloignés ;
• Utiliser des majorations et inégalités pour encadrer cette différence et justifier la propriété de Cauchy ;
• Relier la convergence d’une série à celle de la suite de ses sommes partielles ;
• Développer un raisonnement mathématique clair, structuré et justifié étape par étape.

Ce type d’exercice constitue une transition essentielle entre l’étude des suites et celle des séries numériques. Il renforce la rigueur logique de l’étudiant et lui permet de reconnaître les mécanismes de convergence dans différents contextes. La maîtrise du critère de Cauchy devient ainsi un outil fondamental pour aborder les chapitres ultérieurs d’analyse mathématique.

👉 Un exercice à la fois technique et conceptuel, parfait pour consolider les bases de la convergence et affûter le raisonnement logique de l’étudiant.

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