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📘 Mesure et Intégration – Fiche TD4 : Fonctions intégrables
Le lemme de Fatou est un résultat fondamental de la théorie de l’intégration de Lebesgue. Il fournit une inégalité essentielle permettant de relier la limite inférieure d’une suite de fonctions intégrables à la limite inférieure de leurs intégrales. Cet outil intervient fréquemment dans les démonstrations analytiques, en particulier lorsqu’il s’agit de contrôler le comportement limite de suites de fonctions.
Cette fiche contient un exercice entièrement corrigé illustrant l’application du lemme de Fatou. L’exemple sélectionné met en avant la vérification des hypothèses (mesurabilité, positivité), et montre comment exploiter ce lemme pour obtenir une inégalité intégrale précise, tout en évitant les erreurs fréquentes comme la confusion entre convergence simple et passage direct à la limite.
🔎 Objectifs pédagogiques
- Comprendre clairement l’énoncé et la portée du lemme de Fatou.
- Apprendre à vérifier les conditions nécessaires (fonctions positives et mesurables).
- Savoir utiliser le lemme pour établir des inégalités utiles en analyse.
- Développer une intuition sur le rôle comparatif des théorèmes de convergence (Fatou, Beppo Levi, DCT).
🧩 Contenu de la fiche
- Un exercice corrigé appliquant le lemme de Fatou, avec un corrigé détaillé et commenté.
- Analyse pas à pas : vérification des hypothèses, exploitation du lemme, interprétation du résultat.
- Remarques méthodologiques pour éviter les pièges en examen et consolider la rigueur des démonstrations.
- Conseils pratiques pour rédiger une solution claire et solide dans un TD ou un partiel.
✨ Ce document est conçu comme un outil de travail ciblé : il associe la théorie à la pratique et constitue un support précieux pour vos révisions avant les examens.
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