"TD3 Mesure et Intégration : Analyse approfondie des fonctions mesurables et de leurs limites"

Analyse détaillée des exercices TD3 – Fonctions mesurables

Le TD3 en Mesure et Intégration se concentre sur les fonctions mesurables et les propriétés de leurs limites et convergences. Ces exercices visent à renforcer la compréhension des étudiants sur les notions fondamentales nécessaires pour l'étude du théorème de convergence de Lebesgue et du calcul intégral sur les espaces mesurés.

1. Objectifs principaux

• Identifier et démontrer que les limites, bornes supérieures et inférieures des suites de fonctions mesurables restent elles-mêmes mesurables.
• Comprendre le concept de convergence simple et montrer que le passage à la limite préserve la mesurabilité.
• Relier la notion de mesurabilité aux fonctions dérivables, en démontrant que la dérivée d’une fonction différentiable est également mesurable.
• Étudier l’ensemble des points où une suite de fonctions admet une limite finie et prouver sa mesurabilité via le critère de Cauchy.

2. Contenu pédagogique

Les exercices du TD3 combinent théorie et applications pratiques :

• Opérations sur les fonctions mesurables : somme, produit, limites supérieures et inférieures, convergence simple.
• Applications du critère de Cauchy : pour identifier les points de convergence finie d’une suite de fonctions.
• Lien avec l’analyse classique : démonstration de la mesurabilité des dérivées via l’expression limite de la différence quotiente.

3. Importance pédagogique

Ces exercices permettent aux étudiants de :

• Maîtriser les propriétés fondamentales des fonctions mesurables.
• Préparer les bases pour l’étude du théorème de convergence dominée et du théorème de convergence monotone en intégration de Lebesgue.
• Développer des compétences analytiques solides pour la manipulation des suites et limites dans un contexte mesurable.

En résumé, le TD3 constitue un outil clé pour consolider les connaissances théoriques et pratiques sur les fonctions mesurables, en reliant étroitement théorie de la mesure et analyse classique, tout en préparant les étudiants aux applications avancées en intégration.

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