Mesures positives et mesure extérieure – TD2 pour L3

Mesures positives – TD2 (L3)

Ces exercices s’inscrivent dans le cadre de la construction de la mesure extérieure associée à une mesure positive définie sur une algèbre, et dans l’étude des propriétés fondamentales qui en découlent. Ils montrent comment, à partir d’une mesure définie seulement sur une algèbre, on peut obtenir une mesure extérieure cohérente et contrôler son comportement sur des ensembles arbitraires.

1️⃣ Cohérence entre la mesure extérieure et la mesure initiale

La mesure extérieure coïncide exactement avec la mesure originale sur tout ensemble appartenant à l’algèbre, garantissant que l’extension ne déforme pas les valeurs existantes. Les recouvrements peuvent être choisis dans l’algèbre, et la suite couvrant l’espace total permet de gérer l’infini et d’éviter les dérives. C’est un passage-clef dans la construction de Carathéodory.

2️⃣ Sous-additivité de la mesure extérieure

La mesure extérieure du recouvrement infini d’une famille d’ensembles est toujours ≤ à la somme des mesures extérieures individuelles. Cette propriété entraîne la manipulation de la structure des recouvrements, de l’idée de raffinement, et la transition « passage du fini à l’infini ». Elle prépare la σ-additivité pour les ensembles mesurables.

3️⃣ Additivité sur des ensembles disjoints

Si un ensemble est contenu dans un ensemble mesurable d’origine et un autre dans son complément, la mesure extérieure du tout est la somme des mesures extérieures de chaque partie. Cela illustre la notion de mesurabilité au sens de Carathéodory, où la mesure extérieure se comporte comme une mesure classique sur des ensembles bien scindés.

🔍 Intérêt pour la L3

Ces exercices préparent la construction de la mesure complète portée par la tribu générée par l’algèbre, la démonstration du théorème d’extension de Carathéodory, et la compréhension des fondements de l’intégrale de Lebesgue. Ils permettent de passer de la mesure extérieure sur n’importe quel ensemble à une mesure cohérente sur une σ-algèbre.

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