Mesures Positives et Calculs d’Ensembles – TD2 Analyse et Intégration L3

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Fiche TD2 –Mesures Positives et Calculs d’Ensembles

Ces exercices sont destinés aux étudiants de 3ème année Licence et font partie du deuxième TD sur la mesure et l’intégration, plus particulièrement sur les mesures positives. L’objectif principal est de permettre aux étudiants de maîtriser le calcul des mesures sur différents types d’ensembles et de comprendre comment les mesures discrètes et continues évaluent ces ensembles.

Dans ces exercices, les étudiants travaillent sur trois types de mesures : mesures de Dirac discrètes, mesures de Dirac pondérées et mesure de Lebesgue. L’objectif est d’observer comment ces mesures attribuent une « taille » ou un poids aux ensembles, que ce soit pour des points isolés ou des intervalles continus.

Compétences et objectifs pédagogiques :

Identifier et comparer différentes mesures, en distinguant les mesures discrètes et continues.
Calculer la mesure d’ensembles simples et composés, incluant les unions, intersections et suites d’ensembles.
Comprendre les propriétés fondamentales des mesures, comme la σ-additivité et la positivité, et leur impact sur le calcul des mesures.
Développer une rigueur mathématique dans l’application des définitions et théorèmes de la théorie de la mesure.
Relier la théorie à la pratique en appliquant les concepts appris à des exemples concrets d’ensembles et de mesures.

Intérêt pour les étudiants : Ces exercices permettent aux étudiants de comprendre la différence entre les mesures discrètes et continues et de voir concrètement comment les mesures s’appliquent à des ensembles spécifiques comme des intervalles et des points isolés. Ils renforcent la compréhension des concepts essentiels de la théorie de la mesure et préparent efficacement à l’étude de l’intégration et de l’analyse fonctionnelle avancée.

En résumé, cette fiche TD2 est un outil complet pour les étudiants de 3ème année Licence afin de maîtriser les mesures positives et leur application pratique, tout en consolidant les bases théoriques nécessaires pour les cours avancés en analyse.