Fonctions mesurables TD3 (Licence 3) : Fiche complète et exercices pratiques

TD3 — Fonctions mesurables : Troncature et mesurabilité (Licence 3)

Ce TD3 du module Mesure et Intégration aborde la notion de fonctions mesurables et l’opération de troncature d’une fonction mesurable. L’exercice permet à l’étudiant de comprendre comment une fonction mesurable, lorsqu’elle est limitée à un intervalle symétrique autour de zéro, conserve sa mesurabilité. Cette opération est fondamentale pour l’étude des fonctions intégrables et pour la construction d’approximation dans l’intégration de Lebesgue.

Objectifs pédagogiques

• Comprendre le concept de troncature d’une fonction mesurable et son rôle dans l’analyse.
• Vérifier la mesurabilité de fonctions modifiées par des opérations simples (bornes supérieures et inférieures).
• Relier les propriétés des fonctions mesurables aux transformations de leurs valeurs réelles.
• Préparer les étudiants à manipuler des fonctions intégrables et à appliquer les théorèmes de convergence.
• Renforcer la rigueur dans l’argumentation et la notation formelle pour des fonctions plus complexes.

Importance pédagogique

La troncature est une technique clé pour construire des suites de fonctions simples approximant des fonctions mesurables générales. Ce TD développe la compréhension de la stabilité des fonctions mesurables sous des transformations usuelles, préparant ainsi aux applications avancées en intégration de Lebesgue.

Remarque : Cet exercice est essentiel pour appréhender les manipulations des fonctions mesurables et préparer l’intégration de fonctions non bornées.

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