Test d’évaluation – Analyse fonctionnelle (Master 1) : Convergence, normes et espaces vectoriels

Test d’évaluation — Analyse fonctionnelle (Master 1)

Ce test d’évaluation, destiné aux étudiants de Master 1, vise à mesurer la maîtrise des concepts fondamentaux d’analyse fonctionnelle et de théorie des espaces normés. L’épreuve couvre des thèmes clés : dimension algébrique des espaces vectoriels normés, propriétés métriques dans les espaces de suites ℓ¹ et ℓ², notions de convergence dans des espaces de fonctions (convergence simple vs. convergence dans la norme), ainsi que la vérification rigoureuse de propriétés normiques pour des formes quadratiques pondérées.

Compétences évaluées

• Identifier et justifier des situations garantissant que la dimension algébrique d’un espace normé est infinie.
• Travailler avec des suites numériques dans les espaces ℓ¹ et ℓ² : montrer l’appartenance à ces espaces, calculer des distances associées aux normes et interpréter les résultats.
• Analyser la convergence de suites de fonctions dans C([0,1]) : établir la convergence simple (ponctuelle) puis décider de la convergence dans la métrique donnée (convergence en norme) en justifiant rigoureusement.
• Contrôler si une application définie à partir d’une forme quadratique (intégrale pondérée) satisfait les propriétés d’une norme (positivité, homogénéité, inégalité triangulaire) sur un espace fonctionnel donné.
• Rédiger des preuves courtes, structurées et rigoureuses, en mobilisant des outils classiques (décomposition en parties disjointes, inégalités, théorèmes de convergence, propriétés des normes L² pondérées, etc.).

Attentes méthodologiques

• Formuler clairement les hypothèses (espaces considérés, conditions de finitude, nature des normes/métriques) avant de commencer toute démonstration.
• Pour les questions sur la dimension : citer des exemples pertinents et justifier par un argument algébrique (construction d’une famille linéairement indépendante infinie ou référence à un résultat standard).
• Pour les suites numériques : montrer l’appartenance aux espaces ℓ¹ et ℓ² via critères de convergence / comparaisons, puis calculer explicitement les distances demandées en expliquant chaque étape.
• Pour la convergence dans C([0,1]) : distinguer convergence ponctuelle et convergence en norme ; établir les contre-exemples ou preuves d’échec si la convergence en norme ne tient pas.
• Pour la vérification d’une “norme” construite par une intégrale pondérée : vérifier systématiquement les trois axiomes (séparation/positivité, homogénéité, inégalité triangulaire — montrer l’usage de l’inégalité de Minkowski ou de Cauchy-Schwarz si nécessaire).

Barème indicatif (proposition)

• Questions conceptuelles sur dimension : 15 % — clarté de l’argument et exemples.
• Suites en ℓ¹∩ℓ² et calculs de distances : 25 % — soin des calculs et justification des appartenances.
• Convergence dans C([0,1]) : 30 % — distinction simple/forte, rigueur et exemples.
• Propriété normique de la forme quadratique pondérée : 30 % — vérification complète des axiomes et usage correct des inégalités fonctionnelles.

Objectif du test : mettre l’étudiant face à des situations classiques mais exigeantes — vérifier non seulement la technique de calcul, mais surtout la capacité à raisonner rigoureusement et à structurer une démonstration en analyse fonctionnelle.

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