Stabilité de la mesurabilité des fonctions réelles

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Stabilité de la mesurabilité par les opérations algébriques

Cet exercice amène l’étudiant à comprendre comment la propriété de mesurabilité reste valable lorsqu’on effectue des opérations comme l’addition ou la multiplication entre deux fonctions mesurables. Il ne s’agit pas d’un simple calcul, mais d’un raisonnement sur la structure des fonctions et sur la manière dont la mesurabilité se transmet à travers les compositions.

Compétences visées

Comprendre la définition d’une fonction mesurable à partir des ensembles boréliens.
Utiliser la stabilité de la mesurabilité par composition avec une fonction continue.
Travailler avec la tribu produit et les ensembles générateurs.
Faire le lien entre fonctions réelles simples et fonctions à deux composantes.

Approche recommandée

Il est conseillé de voir l’opération comme une composition de fonctions : associer d’abord à chaque élément x le couple formé par les valeurs de f et g, puis appliquer une fonction continue qui réalise l’addition ou la multiplication. L’idée principale est que la continuité de ces opérations garantit la préservation de la mesurabilité.

Remarques pédagogiques

Cet exercice illustre une propriété essentielle : l’ensemble des fonctions mesurables est stable par addition et multiplication. Ce résultat joue un rôle fondamental dans la construction de l’intégrale et dans l’étude des espaces fonctionnels utilisés en analyse.

Variantes proposées

Vérifier la mesurabilité pour d’autres opérations comme la soustraction, la valeur absolue, le maximum ou le minimum.
Généraliser à plusieurs fonctions : toute application continue appliquée à des fonctions mesurables reste mesurable.
Explorer des situations où la tribu considérée n’est pas borélienne pour tester les limites du résultat.