Fonctions mesurables et applications composées — Fiche TD3 de Mesure et Intégration (L3)

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Étude approfondie des fonctions mesurables — Travaux Dirigés Licence 3

Cette fiche de travaux dirigés explore en profondeur la notion de fonction mesurable au sein d’un espace mesurable, élément fondamental de la théorie de la mesure et de l’intégration de Lebesgue. Les exercices proposés amènent l’étudiant à démontrer des propriétés essentielles garantissant la compatibilité entre structures mesurables et applications réelles.

Objectifs pédagogiques

Comprendre la définition et les implications de la mesurabilité d’une fonction réelle sur un espace mesurable donné.
Montrer que les ensembles de niveau d’une fonction mesurable, du type {x ∈ E ; f(x) = a}, sont eux-mêmes mesurables.
Établir la stabilité de la mesurabilité par composition, c’est-à-dire prouver que la composition de deux applications mesurables reste mesurable.
Étudier des suites de fonctions boréliennes positives et analyser leurs comportements de convergence (croissance, limite ponctuelle, convergence vers des indicatrices).

Contenu et approche

Les trois exercices de cette fiche s’appuient sur la formalisation rigoureuse des espaces mesurables (E, T), (X, M), (Y, N), et (Z, T), et sur la compréhension de la structure borélienne de ℝ⁺.
L’étudiant est amené à manipuler la notion de σ-algèbre, à reconnaître les liens entre mesure, fonction et ensemble image, et à justifier la cohérence entre opérations algébriques et mesurabilité.
Le dernier exercice introduit une suite (g_n) de fonctions positives sur ℝ⁺, illustrant le passage à la limite dans un cadre mesurable, et la convergence vers une fonction indicatrice — outil clé en théorie de l’intégration de Lebesgue.
Chaque question est conçue pour consolider le raisonnement rigoureux et la maîtrise des outils analytiques : définitions précises, justifications étape par étape et interprétation mathématique des résultats.

Compétences développées

Manipuler les notions de mesurabilité, composition et convergence dans des contextes abstraits.
Rédiger des preuves complètes et structurées en s’appuyant sur les propriétés fondamentales des espaces mesurables.
Faire le lien entre la théorie et les applications pratiques de l’intégration de Lebesgue et de l’analyse fonctionnelle.

Ainsi, cette fiche TD3 représente une étape charnière du module Mesure et Intégration, permettant à l’étudiant de consolider sa compréhension des fonctions mesurables et de se préparer à l’étude approfondie des théorèmes de convergence et de l’intégrale de Lebesgue.