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📘 Mesure et Intégration – Fiche TD4 : Fonctions intégrables
Le théorème de convergence dominée (DCT) est l’un des résultats centraux de la théorie de l’intégration de Lebesgue. Sous l’hypothèse d’existence d’une fonction dominatrice intégrable, il autorise le passage de la limite sous le signe intégral : c’est l’outil indispensable pour justifier l’échange limite ↔ intégrale, utilisé quotidiennement en analyse et en probabilités.
Dans cette fiche, vous trouverez un exercice entièrement corrigé qui illustre de façon concrète l’application du DCT. L’énoncé met en évidence une situation type : comment vérifier les hypothèses, choisir une fonction dominatrice adaptée, et éviter les pièges fréquents (hypothèses incomplètes, domination non intégrable, confusion entre convergence simple et convergence dominée).
🔎 Objectifs pédagogiques
- Comprendre l’énoncé et les conditions d’application du théorème de convergence dominée.
- Savoir identifier et construire une fonction dominatrice intégrable.
- Apprendre à justifier rigoureusement l’échange limite/intégrale dans un cas concret.
- Renforcer l’intuition pour choisir l’outil adapté parmi les théorèmes de convergence (Fatou, Beppo Levi, DCT).
🧩 Contenu de la fiche
- Un exercice corrigé centré sur une application du DCT (énoncé suivi d’une solution détaillée).
- Explications pas à pas : vérifications des hypothèses, choix de la fonction dominatrice, manipulation d’intégrales.
- Mises en garde sur les erreurs fréquentes et remarques méthodologiques pour l’examen.
- Conseils de rédaction pour présenter une solution claire et complète lors d’un TD ou d’un partiel.
✨ Ce document représente un outil précieux de préparation : il allie rigueur théorique et exercice pratique, idéal pour consolider vos acquis avant les examens et gagner en assurance dans vos démonstrations.
Pour accéder à l’ensemble des solutions détaillées et aux exercices supplémentaires, téléchargez le fichier complet via l’un des liens ci-dessus.
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