Les boréliens et les tribus : Exercice corrigé

Vérification d’une tribu sur ℝ

Cet exercice provient de la fiche d’exercices corrigés sur les tribus (σ-algèbres), un concept fondamental en mathématiques avancées, particulièrement en probabilités et en analyse mesurable. Il porte sur la tribu des boréliens 𝒜(\mathbb{R}), qui est l’une des tribus les plus utilisées pour construire des mesures sur ℝ.

Niveau : Cet exercice est destiné aux étudiants de Licence 3 en mathématiques ou disciplines connexes.

L’objectif est de renforcer la compréhension des propriétés essentielles d’une tribu, à savoir :

• 𝒜 ∈ 𝒯 : l’ensemble universel appartient à la tribu.
• La tribu est stable par complémentation, c’est-à-dire que le complément de tout ensemble dans la tribu appartient également à la tribu.
• La tribu est stable par union dénombrable, ce qui permet de manipuler des suites infinies d’ensembles.

Cet exercice est idéal pour apprendre à vérifier rigoureusement les conditions qui définissent une tribu, un savoir-faire essentiel pour les étudiants préparant des cours de probabilités, mesure et intégration, ou pour ceux qui souhaitent se familiariser avec la construction de mesures sur ℝ.

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• Fiche TD 2 " Mesure positive" – Exercices corrigés
• Fiche TD 3 "Fonctions mesurables"– Exercices corrigés
• Fiche TD 4 "Fonctions intégrables" – Exercices corrigés

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