Problème d’Olympiade : Racine commune d’un système de polynômes quadratiques

🏅 Problème d’Olympiade de Mathématiques

📘 Dans cet exercice d’algèbre olympique, on considère un système de trois équations quadratiques dépendant de quatre paramètres réels non nuls a, b, c, d vérifiant a<b<c<d.

🎯 L’objectif est de déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que ces trois équations admettent une racine commune.

🧠 La résolution repose sur des manipulations algébriques astucieuses, notamment la soustraction de certaines équations afin de faire apparaître des relations entre les coefficients et la racine commune recherchée.

🔍 Cette approche conduit à l’étude d’un système auxiliaire permettant d’identifier les seules valeurs possibles de la racine commune, puis d’établir une caractérisation complète de l’existence de cette dernière.

⭐ Point clé : le problème révèle une condition simple et élégante reliant les quatre paramètres du système : une racine commune existe si et seulement si une certaine relation linéaire entre a, b, c et d est satisfaite.

🏆 Cet exercice est représentatif des problèmes d’ Olympiades de Mathématiques, où l’on combine raisonnement logique, calcul algébrique et recherche d’une structure cachée derrière un système d’équations.

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