Analyse réelle – Suites numériques : convergence, divergence et critère de Cauchy

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🔹 Suites numériques — Critère de Cauchy et étude de la convergence

Dans cette section, l’étudiant·e est invité·e à explorer en profondeur la notion de convergence des suites numériques à travers deux approches complémentaires : le critère de Cauchy, qui permet de caractériser la convergence d’une suite à partir du comportement interne de ses termes, et l’étude de la divergence d’une suite construite à partir d’une série à termes positifs décroissants.

Ces exercices mettent en avant plusieurs compétences essentielles pour la première année universitaire :

la maîtrise des inégalités et encadrements dans les suites récurrentes ;
la compréhension de la différence entre suite convergente et suite divergente ;
l’utilisation du raisonnement rigoureux pour prouver ou réfuter la convergence ;
et la mise en œuvre de comparaisons intégrales pour analyser la croissance ou la borne supérieure d’une suite.

Chaque problème conduit l’étudiant à réfléchir sur la structure du raisonnement mathématique : comment une suite bornée et à variations contrôlées peut converger (cas du critère de Cauchy), et pourquoi une suite de sommes partielles peut diverger même si ses termes tendent vers zéro. Ces situations illustrent parfaitement la richesse de l’analyse réelle et la finesse requise pour distinguer la convergence de la simple décroissance.

Les corrections détaillées proposées après le texte permettent de consolider les méthodes de démonstration, de repérer les erreurs fréquentes et de construire une intuition solide sur le comportement des suites réelles.