Analyse réelle : Exercices et solutions sur les bornes et la partie entière

Lire la suite

🔹 Introduction à l’analyse mathématique — Exercices sur les nombres réels

Cette série d’exercices permet de s’initier aux fondements de l’analyse réelle, en abordant les propriétés essentielles des nombres réels et de leurs parties.

Les problèmes proposés mettent en pratique les notions de bornitude, de borne supérieure (sup) et borne inférieure (inf), ainsi que les propriétés de la fonction partie entière.

À travers ces exercices, l’étudiant·e apprend à :

raisonner rigoureusement sur des ensembles réels (sous-ensembles non vides, inclusions, comparaisons de bornes) ;
démontrer l’existence des bornes dans ℝ grâce au principe de complétude ;
comprendre et manipuler les relations entre supA, supB, infA, infB lorsqu’on a (A ⊆ B) ;
appliquer les propriétés de la partie entière [x] pour prouver des égalités fondamentales reliant un réel et son rapport avec un entier donné.

Chaque exercice est accompagné d’une correction détaillée, expliquant non seulement le résultat, mais aussi la méthode logique et les arguments d’analyse utilisés.

Cette banque d’exercices constitue une excellente introduction à la rigueur du raisonnement mathématique, indispensable pour aborder les chapitres suivants de l’analyse.