Combinatoire et probabilités : entraînement guidé pour la première année de licence

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🔹 Dénombrement et situations combinatoires (Niveau Licence 1)

Contexte : l'exercice met en scène la formation d'un groupe fixe (taille 6) à partir de deux populations distinctes (par exemple : femmes et hommes). L'enjeu pédagogique est d'illustrer la notion de choix sans ordre et d'entraîner l'étudiant à utiliser la combinatoire pour compter les configurations admissibles selon des contraintes données.

Objectifs d'apprentissage — Exercice 1

Maîtriser la formule des combinaisons \(\binom{n}{k}\) pour compter des choix sans ordre.
Savoir raisonner par cas et appliquer le principe du complémentaire pour simplifier certains calculs.
Interpréter des résultats combinatoires dans un contexte concret.

Structure du raisonnement recommandée — Exercice 1

Identifier l'univers total (nombre total d'individus) et préciser si l'ordre importe (ici non).
Utiliser \(\binom{N}{6}\) pour le nombre total de groupes sans contrainte.
Pour les cas contraints (ex. uniquement des hommes, même sexe), raisonner en choisissant dans la sous-population concernée et additionner les cas disjoints quand nécessaire.
Pour la situation "au moins une femme et au moins un homme", mobiliser la complémentarité : soustraire du total les cas extrêmes (tous d'un même sexe).

Éléments pédagogiques à mettre en avant — Exercice 1

Présenter clairement les ensembles considérés et les notations (ex. \(F\) pour femmes, \(H\) pour hommes).
Montrer le passage combinatoire → interprétation (pourquoi \(\binom{25}{6}\) compte bien les groupes de 6 femmes, etc.).
Donner une vérification numérique (si souhaitée) et insister sur la cohérence des résultats (par exemple : somme des cas disjoints quand on partitionne l'ensemble des choix).

Contexte : un sac contient des jetons de deux couleurs (avec numérotation pour préciser qu'ils sont distincts). On tire 3 jetons, soit successivement (sans remise), soit simultanément. Cet exercice vise à montrer la correspondance entre les approches multiplicative (probabilités conditionnelles) et combinatoire (comptage des sous-ensembles).

Objectifs d'apprentissage — Exercice 2

Comprendre la différence pratique entre tirages avec et sans remise, et l'impact sur les calculs.
Apprendre deux méthodes équivalentes : produit des probabilités conditionnelles et calcul combinatoire via \(\dfrac{\binom{a}{k}\binom{b}{3-k}}{\binom{a+b}{3}}\).
Décomposer un événement (ex. "exactement 1 jeton vert") et l'exprimer comme combinaison de choix dans les sous-ensembles.

Approche méthodologique — Exercice 2

Présenter les deux approches : a) multiplication des probabilités conditionnelles (utile pour tirages successifs) ; b) approche combinatoire (choix de k éléments verts et 3−k rouges).
Pour chaque question (3 verts, 0 vert, au plus 2 verts, exactement 1 vert), écrire explicitement l'événement et la formule associée.
Montrer que les deux approches conduisent aux mêmes valeurs lorsque l'ordre n'est pas pris en compte.

Points pédagogiques et variantes — Exercice 2

Proposer la variante "avec remise" pour faire mesurer l'impact sur les probabilités (indépendance des tirages).
Montrer la vérification par somme des probabilités élémentaires (ex. \(P(0)+P(1)+P(2)+P(3)=1\)).
Insister sur la modélisation : sont-ce des jetons distinguables ? (ici oui, mais la numérotation sert surtout à clarifier l'unicité des éléments).