Maîtriser le théorème de la convergence dominée – Exercice clé pour Licence 3

📘 Présentation de l’exercice

Cet exercice est consacré à l’un des résultats les plus fondamentaux de l’analyse réelle : le théorème de la convergence dominée. Il s’adresse spécifiquement aux étudiants de Licence 3 souhaitant renforcer leur compréhension des suites de fonctions et de l’intégration de Lebesgue.

🔍 Objectifs pédagogiques

• Analyser la convergence ponctuelle de suites de fonctions dépendant d’un paramètre.
• Identifier une fonction dominante intégrable et indépendante du paramètre.
• Vérifier rigoureusement les hypothèses du théorème de la convergence dominée.
• Justifier le passage à la limite sous le signe intégral.

⚠️ Points de vigilance

L’exercice met en lumière une difficulté majeure rencontrée par de nombreux étudiants : la confusion entre convergence simple et convergence permettant l’échange limite–intégrale. Chaque étape du raisonnement doit être justifiée avec soin, sous peine d’aboutir à des conclusions erronées.

🎯 Pourquoi cet exercice est important

Ce travail ne se limite pas à un calcul formel. Il apprend à penser analytiquement, à douter avant d’appliquer un théorème, et à comprendre le rôle central du contrôle intégrable dans l’analyse moderne.

Il constitue un excellent entraînement pour les examens, les devoirs surveillés et la préparation aux études de niveau supérieur en mathématiques.

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