Application du Théorème de la Convergence Dominée : Analyse de Suites d’Intégrales en L3

Exercice Avancé — Théorème de la convergence dominée (Licence 3)

Cet exercice avancé s'inscrit dans le cadre de l'analyse réelle et de la théorie de l'intégration de Lebesgue. Il mobilise le Théorème de la Convergence Dominée pour justifier rigoureusement l'interversion de la limite et de l’intégration dans des contextes où les intégrales dépendent de paramètres divergents. Les étudiants doivent démontrer une maîtrise fine de la domination, de la convergence presque partout, et de l'intégrabilité sur des domaines non bornés.

Compétences ciblées

• Analyser en profondeur la convergence ponctuelle de suites d'intégrandes dépendant d’un paramètre \(n\).
• Déterminer une fonction \(g\) intégrable sur \(\mathbb{R}\) (ou un sous-domaine) vérifiant \( |f_n(x)| \le g(x)\) p.p.
• Justifier mathématiquement l’échange limite-intégrale à l’aide du TCD sans omission des hypothèses.
• Évaluer la limite des intégrales résultantes dans des cas nécessitant des manipulations analytiques subtiles.
• Travailler sur des domaines infinis et gérer le comportement asymptotique des intégrandes.

Approche et attentes méthodologiques

• Justifier chaque étape de manière rigoureuse — aucune simple intuition n’est acceptée sans preuve.
• Proposer un choix pertinent de fonction dominante et démontrer son intégrabilité.
• Discuter des difficultés possibles : bornes infinies, comportement oscillatoire, termes exponentiels ou rationnels.
• Fournir une rédaction claire, structurée et scientifiquement solide.

Finalité pédagogique

Cet exercice prépare aux études de Master en Analyse en développant une véritable maturité conceptuelle sur les théorèmes fondamentaux de l'intégration de Lebesgue et leur utilisation dans l'étude des suites d'intégrales.

Une évaluation de haut niveau qui exige précision, rigueur et sens critique dans l'application du TCD.

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