Maîtriser les Changements de Variables dans les Intégrales

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Calcul d’intégrales & Changements de variables — TD (1ère année Licence)

Cette fiche rassemble des exercices ciblés sur le calcul d’intégrales et les techniques de changement de variables, adaptée aux étudiants de 1ère année Licence. Les situations traitées incluent les intégrales définies sur des intervalles finis, les intégrales impliquant des racines carrées (p. ex. √(x²+1), √(1−x²)), et les transformations usuelles (substitution algébrique, substitution trigonométrique, passage aux coordonnées polaires).

Contenu et méthodes abordées :

Substitutions algébriques : choix d’un u adapté (ex. u = x²+1) pour simplifier l’intégrande et transformer une intégrale compliquée en une primitive immédiate.
Substitutions trigonométriques : utiliser x = sin t, x = tan t, ou x = sec t pour traiter les expressions √(1−x²), √(x²+1), √(x²−1) et obtenir des fonctions trigonométriques intégrables.
Intégrales définies et propriétés : exploitation de la symétrie, changements de variables dans les bornes, et interprétation géométrique (aires).
Coordonnées polaires : transformation d’intégrales sur des domaines du plan (utile pour certains calculs d’aire ou intégrales double).
Techniques complémentaires : intégration par parties, passages aux fractions partielles si nécessaire, et simplifications algébriques préalables.

Compétences visées :

Choisir et justifier une substitution adaptée pour simplifier une intégrale.
Calculer des intégrales définies via changement de variable et adapter les bornes correctement.
Relier calculs analytiques et interprétation géométrique (aires, symétries).
Maîtriser les substitutions trigonométriques classiques et savoir reconnaître les formes à traiter.
Présenter des preuves courtes et rigoureuses des étapes de changement de variable.

Objectif : que chaque substitution devienne un réflexe — pour transformer l’inextricable en évidence.